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zenaの日記

麻雀と最近放置している不等式と、極希に更新しているスペクトル以外には、ここを見る価値は基本的にありません。また、管理者は気まぐれにしか更新しませんので悪しからず。

Wallis's Inequality

 \mbox{If } n\in\mathbb{N} \mbox{ with }n\geq1, \mbox{ then}\\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi(n+1/2)}}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{\pi(n+1/4)}}

因みに、この不等式より

 \frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!^2}{(2n-1)!!^2(2n+1)}
が得られる。

Gurland かWatsonによる不等式を使えば、一瞬で導ける上にもっと良く評価できる事に書いてから気付きました。どれが一番早く見つかったのだろうか・・・

Hilbert変換の連続性

H: Hibert変換,  f \in \mathscr{S}(\mathbb{R})}(\mbox{rapidly decreasing function)
 1 < q \le p < \inftyに対して次の不等式が成立する。

 \displaystyle || Hf||_{\mathcal{M}^p_q(\mathbb{R})}\leq C|| f||_{\mathcal{M}^p_q(\mathbb{R})}

但し
 \displaystyle ||f||_{\mathcal{M}^p_q(\mathbb{R})}:=\sup_{Q\in\mathcal{Q}}|Q|^{1/p-1/q}\(\int_{Q}|f(x)|^qdx\)^{1/q}

 \mathcal{Q}:=\{\mathbb{R}_n 上の立方体で各辺が各軸に平行なもの \}