マグヌス効果 - zenaの日記

で，ちょっと気になったんだけど

t=0で水平方向に投げた場合と，同じエネルギーの回転を与えて自由落下させた場合

どっちが遠くまで飛ぶのかな？

という素朴な疑問．気になったので，それっぽい式を立てて計算してみた．

一応，計算の仮定を書いておくと，一様密度のバスケットボール大の完全な球で，重さは500gのものを使用．
水平に投げる場合の初速は14m/s(意味は無い）．
揚力Fはクッタ=ジュウコウスキーの法則から

$F=\pi^2r^3\rho VN,\\ \ \rho:\mbox{大気の密度},\ V:\mbox{ボールの速度},\\ N:\mbox{ボールの一秒あたりの回転数},\ r:\mbox{ボールの半径}$

で与えられるとする．また，回転モーメントは良く分らなかったので，ストークス近似の際のモーメント

$M=-8\pi\mu r^3\omega,\\ \mu:\mbox{大気の粘性率},\ \omega:\mbox{ボールの角速度}$

としておく(多分ここが一番怪しいが，フルのナビエストークスを解くわけにもいかないので妥協．抵抗係数も近似しちゃうしね・・・)

空気抵抗Gは

$\displaystyle G=\frac{\pi}{2}C_d\rho V^2 r^2,\\ C_d:\mbox{抗力係数}$

抵抗係数はレイノルズ数に依存するけど，良い近似式を知らないので取敢えず

$\displaystyle C_d\simeq\biggl(0.55+\frac{0.48}{\sqrt{R}}\biggr)^2,\\ R:\mbox{レイノルズ数}$

で与えられるとしておく．(ストークス近似使ったんだからC_d≒24/Rだろとかそういう事は気にしない．)

この条件で運動方程式を立てると，とても人間業では解けそうにないものが出てくるので，数値解を求めてみたのが↓，

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左が水平方向に投げた場合のボールの軌道，右が回転を与えて落とした場合のボールの軌道．

仮定が正しければ，どうやら投げるより，回転の方が進むっぽい．

(直感的には回転モーメントが実際より小さそうな気がするが，回転モーメントを10倍にしても同じなので，実際でも同じ結論が得られそう．誰か実験して下さいｗ)